文字式を使った数の性質の説明問題は、中学数学の中でも特に重要なテーマです。文字式を使って数の性質を表現することで、より深く数学の本質を理解することができますが、解き方に少し戸惑うこともありますよね。特に、式の整理や変形をうまく活用することがポイントです。
本記事では、文字式を使った数の性質の説明問題を解くための重要ポイントと解法のステップを詳しく解説します。練習問題を通じて、しっかりと理解を深め、テスト対策に活かしましょう！
- レベル：標準
- 頻出度：定期テスト・実力テスト・入試
- ポイント：証明の手順通りにする
【問題】数の性質の証明の練習問題
【問1】連続する3つの自然数の和が3の倍数になることを説明しなさい。
【問2】2つの5の倍数の和が5の倍数になることを説明しなさい。
【問3】連続する2つの奇数の和が4の倍数になることを説明しなさい。
【問4】次の問いに答えなさい。
（1）ｎを自然数とするとき、偶数をｎで表しなさい。
（2）ｎを自然数とするとき、奇数をｎで表しなさい。
（3）ｎを自然数とするとき、３の倍数をｎで表しなさい。
（4）ｎを自然数とするとき、４で割り切れる数をｎで表しなさい。
（5）ｎを自然数とするとき、２つの連続する奇数をｎで表しなさい。
（6）ｎを自然数とするとき、真ん中の数をｎとして、３つの連続する整数をｎで表しなさい。
（7）ｎを自然数とするとき、ｎを一番小さい数として、３つの連続する自然数をｎで表しなさい。
（8）ｎを自然数とするとき、ｎを中央の数として、３つの連続する整数をｎで表しなさい。
（9）ｍ、ｎを自然数とするとき、10の位がｍで１の位がｎの整数をｍ、ｎで表しなさい。
（10）ｍ、ｎを自然数とするとき、100の位がｍ、10の位が6、１の位がｎの整数をｍ、ｎで表しなさい。
【問5】次の問いに答えなさい。
（1）片道がｘｋｍの道のりを，行きは時速３ｋｍで，帰りは時速４ｋｍで歩いた。そのとき，往復するのにかかった時間をｘを使って表しなさい。
（2）ｘ枚の紙がある。この紙を，１人に10枚ずつｙ人に配ったら，何枚か残った。残った紙の枚数をｘ，ｙを使った式で表しなさい。
（3）縦が3cm，横がａcmの長方形の周の長さを，ａを用いた式で表しなさい。
（4）長さａｍの針金から，ｂｍの針金を１０本切り取ったとき，残りの針金の長さは何ｍか。文字を使った式で表しなさい。
（5）ある水そうに，毎分ｘリットルの割合で水を入れると，ちょうどｙ分で72リットル入る。このとき，ｙをｘの式で表せ。
数の証明のポイント
- 最小の数をnとすると、n,n+1,n+2
- 真ん中の整数をnとすると、n-1,n,n+1
- nを整数とすると、連続する3つの偶数は、2n,2n+2,2n+4など
- nを整数とすると、連続する3つの奇数は、2n+1,2n+3,2n+5など
＜連続する3つの整数＞
- 最小の数をnとすると、n,n+1,n+2
- 真ん中の整数をnとすると、n-1,n,n+1
＜倍数＞
- nを整数とすると、2の倍数は、2n
- nを整数とすると、5の倍数は、5n
- nを整数とすると、2で割り切れる数は、2n
＜2ケタの自然数＞
- 十の位の数をｘ、一の位の数をｙとすると、2けたの自然数は、10ｘ+ｙ
- 十の位の数と一の位を入れかえてできる数は、10ｙ+ｘ
- 十の位の数と一の位の数の和は、ｘ+ｙ
＜偶数と奇数＞
- nを整数とすると、偶数は、2n
- nを整数とすると、奇数は、2n+1や、2n-1
- nを整数とすると、連続する3つの偶数は、2n,2n+2,2n+4など
- nを整数とすると、連続する3つの奇数は、2n+1,2n+3,2n+5など
などを利用して、題意に合うように証明していく。
【解答】数の性質の証明の練習問題
【問1】
nを整数として、連続する３つの自然数はn－1、n、n＋1と表せる。
これらの和はn－1＋n＋n＋1＝3n
ここで、nは整数なので3nは、3×（整数）となり3の倍数
だから、連続する３つの自然数の和が３の倍数になる。
【問2】
m、nを整数として、2つの5の倍数は5m、5nと表せる。
和は5m＋5n＝5(m＋n)
m＋nは整数だから、5(m＋n)は5の倍数になる。
だから、2つの5の倍数の和が5の倍数になる。
【問3】
nを整数として、連続する２つの奇数は2n－1、2n＋1と表せる。
これらの和は2n－1＋2n＋1＝4n
ここで、nは整数なので4nは、4×（整数）となり4の倍数
よって、連続する２つの奇数の和が４の倍数になる。
【問4】
（1）2n
（2）2n－1
（3）3n
（4）4n
（5）2n－1、2n＋1
（6）n-1、n、n＋1
（7）n、n＋1、n＋2
（8）n－1、n、n＋1
（9）10m＋n
（10）100m＋60＋n
【問5】
（1）(7/12)x
（2）x-10y
（3）2a+6
（4）a-10b
（5）y=72/x
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