中学2年生の数学で学ぶ「平行四辺形の証明」は、テストでもよく出題される重要なテーマです。しかし、証明の途中でどの定理を使うべきか迷ったり、論理的な流れがうまくつかめなかったりすることがよくありますよね。
この記事では、平行四辺形の証明に必要なポイントをわかりやすく解説し、証明を進める上で役立つコツを紹介します。また、テスト頻出の問題も掲載しているので、実際の問題を解きながら理解を深め、苦手を克服できるようにしましょう！
【問題】平行四辺形の練習問題
| 平行四辺形 | 性質 | 条件 |
|---|---|---|
| 1つ目 | 平行四辺形の2組の向かいあう辺は、それぞれ等しい。 | 2組の向かいあう辺が、ぞれぞれ平行であるとき（定義） |
| 2つ目 | 平行四辺形の2組の向かいあう角は、それぞれ等しい。 | 2組の向かいあう辺が、それぞれ等しいとき |
| 3つ目 | 平行四辺形の対角線は、それぞれの中点で交わる。 | 2組の向かいあう角が、それぞれ等しいとき |
| 4つ目 | 対角線が、それぞれの中点で交わるとき | |
| 5つ目 | 1組の向かいあう辺が、等しく平行であるとき |
- 平行四辺形の定義…2組の向かいあう辺が、それぞれ平行な四角形
【問1】平行四辺形の練習問題（条件を使う問題）
次の図の平行四辺形ＡＢＣＤの対策線ＢＤ上に、点Ｅ、ＦをＢＥ＝ＤＦとなるようにとります。このとき、ＡＥ＝ＣＦであることを証明せよ。
【問2】平行四辺形の練習問題（平行四辺形になることの証明）
平行四辺形ABCDの辺AB,CD,DA上に,それぞれ,点E,F,G,Hを,AE＝CG,BF＝DHとなるようにとります。このとき,四角形EFGHは,どんな四角形になりますか。証明し答えなさい。
【問3】平行四辺形の証明の実践問題
次の図の平行四辺形ABCDの辺AD上に点EをCE＝CDとなるようにとり、点AとC、B、Eをそれぞれ結んだ場合を表しているとき△ACD≡△BECであることを証明せよ。
【問4】平行四辺形の角度と線分の問題
次の図の平行四辺形ABCDにおいて、AB=5ｃｍ、BD=8ｃｍであり、∠BADの二等分線、∠ADCの二等分線が変BCと交わる点をそれぞれ、F、Gとして、線分AF、DGの交点をHとしたとき、∠AHDの大きさと線分FGの長さを求めよ。
【解答】平行四辺形の練習問題
【問1】平行四辺形の練習問題（条件を使う問題）の解答
△ＡＢＥと△ＣＤＦで、
仮定より、ＢＥ＝ＤＦ…①
ＡＢ//ＤＣより錯角が等しいので、∠ＡＢＥ＝∠ＣＤＦ…②
平行四辺形の向かい合う辺は等しいので、ＡＢ＝ＣＤ…③
①②③より２組の辺とその間の角がそれぞれ等しいので
△ＡＢＥ≡△ＣＤＦ
合同な図形では、対応する辺は等しいので、ＡＥ＝ＣＦ
【問2】平行四辺形の練習問題（平行四辺形になることの証明）の解答
△AEHと△CGF において
仮定より、AE＝CG…①
平行四辺形の向かいあう角は等しいから,、∠ＥAＨ＝∠ＧCＦ…②
また, AD＝BC, かつ,HD＝BF だからAH＝CF…③
① ② ③ より、２辺とその間の角がそれぞれ等しいから
△AEH≡△CGF
EH＝FG…④
同様にして, △BEF≡△DGHよって, EF＝HG…⑤
④, ⑤ より, ２組の向かいあう辺がそれぞれ等しいから、
四角形EFGHは 平行四辺形である。
【問3】平行四辺形の証明の実践問題の解答
△ACDと△BECにおいて、
四角形ABCDは平行四辺形だからAD=BC…①
仮定よりCD=EC…②
△CDEは二等辺三角形だから、∠CDA＝∠CED…③
AD//BCより、錯角は等しいから、∠CED＝∠ECB…④
③④より、∠CDA=∠ECB…⑤
①②⑤より、2組の辺とその間の角がそれぞれ等しいから
△ACD≡△BEC
【問4】平行四辺形の角度と線分の問題の解答
∠AHDの大きさ 90度
線分FGの長さ 2cm
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