中2数学「一次関数の利用（出会い・追い越し・点の移動・料金の問題）の対策問題」高校入試対策にも

中２数学「一次関数の利用」の練習問題と解説です。一次関数は、高校入試において頻出のテーマであり、さまざまな場面でその利用方法を問われます。特に「出会い・追い越し」「点の移動」「料金の問題」といった実生活に即した問題では、一次関数をしっかりと理解していることが重要です。これらの問題では、グラフの読み取りや式の立て方がポイントとなり、適切に解くためにはしっかりとした対策が必要です。本記事では、高校入試に向けた一次関数の利用問題に焦点をあて、各タイプの問題を解くためのコツやポイントを解説していきます。

■ 距離のポイント
➊単位に気をつける。※速さの単位にそろえる。
➋ｘ軸、ｙ軸が何を表しているかチェック（単位は、速さ・距離・時間ともに、そのｘ、ｙにそろえる）

■ 点の移動のポイント
➊グラフや表が用意されていない場合は、題意に沿って自分で用意（作成）して問題を解き始める。
➋面積が同じなどどあれば、交点がその答えとなる。
➌通常、わかっているx,yに相当する値を式に代入すれば、解答を導ける。

一次関数の利用の練習問題
1. 一次関数の利用の練習問題の解答

一次関数の利用の練習問題

【問1】ＡさんとＢさんが学校を出発して、学校から3000ｍ離れた公園まで歩いて行った。最初にＡさんが学校を出発し、一定の速さで公園に向かったが、買い物でコンビニ立ち寄り、そこで10分間過ごした。Ａさんは、その後最初の速さで公園まで歩いた。Ｂさんは、Ａさんの出発から20分後、一定の速さで歩き、2分30秒早く公園着いた。下の図は、ＡさんとＢさんの歩く様子をグラフにしたものです。このとき、次の問いに答えなさい。

（1）Ａさんの歩く速さを求めなさい。
（2）Ａさんが学校を出発してからＢさんに追いこされるまでの時間とＡさん、Ｂさんがいる地点の間の距離を表したグラフを次から記号で1つ選べ。

（3）ＡさんがＢさんに追い越されたのが、学校から何ｍ離れた地点か求めよ。求めるまでの過程も記述せよ。

【問2】図のように、AB＝6ｃｍ、BC＝8ｃｍ、AC＝10ｃｍ、∠B＝90°の直角三角形ABCがある。いま、点Pは毎秒2ｃｍの速さで、頂点Bから頂点Cを通って頂点Aまで三角形の辺上を動く。頂点Bから出発してからｘ秒後の△ABPの面積をSｃｍ²とするとき、次の各問いに答えよ。

（1）点Pが辺BC上にあるとき、Sをｘを用いて表せ。
（2）点Pが辺CA上にあるとき、Sをｘを用いて表せ。
（3）S＝12となるようなｘの値を求めよ。

【問3】次の図1の四角形ABCDは、1辺8ｃｍの正方形である。点Pは頂点Aを出発し、辺AB上を毎秒4ｃｍの速さでA→B→A→B→Aと2往復する。点Qは頂点Cを出発し、辺CD上を毎秒1ｃｍの速さでCからDまで進む。図2は、△PBCと△QBCの面積の関係を表すグラフである。点P、Qがそれぞれ頂点A、Cを同時に出発するとき、次の問いに答えよ。

（1）2点P、Qが出発してからの4秒間の、時間と△PBCと△QBCの面積の差の関係を表したグラフをアからウより1つ選べ。ただし、差は、大きい方の面積から小さいほうの面積をひいたものとする。

（2）△PBCと△QBCの面積の差がはじめて8ｃｍ²になるのは、 2点P、Qが出発してから何秒か求めよ。

（3）△PBCと△QBCの面積が3回目に等しくなるのは、2点P、Qが出発してから何秒か求めよ。

【問4】携帯電話のA社の料金とB社の料金は以下のようになっています。

＜A社＞
・基本料金2500円
・通話50分までは無料
・50分から100分までは1分間につき30円ずつ加算する
・100分以上については100分の代金のまま定額

＜B社＞
・基本料金2500円
・無料通話はなく, 1分間につき10円ずつ加算する

通話料がx分の時の料金をy 円とすると, A社の通話時間と料金の関係は次のグラフのようになります。このとき, 次の各問いに答えなさい。

(1) A社において, 通話時間が80分と100分のときの料金を求めなさい。
(2) A社において, 次の各場合のとき, y をx の式で表しなさい。
①　0≦x≦50 のとき
②　50≦x≦100 のとき
③　100≦x のとき
(3) B社において、yをxの式で表しなさい。
(4) A社の方がB社よりも料金が高くなるのは通話時間がどのようなときか求めなさい。

【問5】図のような、AB=6cm、AD=12cmの長方形ABCDがある。2つの点P,Qは以下の条件で動く。

●点Pは頂点Aを出発し、辺AB上を毎秒1cm の速さで頂点Bまで移動し、頂点Bに達すると毎秒2cmに速さを変え、辺BC上を頂点Cまで移動し、頂点Cに達すると停止する。
●点Qは点Pと同時に頂点Aを出発し、毎秒1cm の速さで辺AD上を辺ADの中点Mまで移動し、点Mに達するとそこで3秒間停止する。その後、毎秒2cmの速さで辺AD上を点Mから頂点Dまで移動し、頂点Dに達すると停止する。

点P,Qが同時に頂点Aを出発してからの時間をｘ秒、そのときの△APQの面積をｙｃｍ２とするととき、次の問いに答えなさい。
（１）０≦ｘ≦６におけるｘとｙの関係の式を、ｙをｘの式で表せ。
（２）点P,Qが同時に頂点Aを出発してから頂点C,Dで停止するまでのｘとｙの関係を正しく表したグラフをア～ウより１つ選べ。