【中2数学】一次関数の利用のポイント・練習問題

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中2数学「一次関数の利用」ポイントと解説です。

一次関数の利用(速さ・距離・時間)のポイント

  • 単位に気をつける。
  • x軸、y軸が何を表しているかチェック(単位は、速さ・距離・時間ともに、そのx、yにそろえる)
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一次関数の利用の練習問題1

1周3200mの公園がある。Aさんはある地点を出発し、この公園の周りを1周した。ただし、途中Aさんは、出発してから8分間休憩している。下のグラフは、Aさんが、出発してからx分後における進んだ道のりをymとして、xとyの関係を表したものである。次の問いに答えなさい。
ダイヤグラム距離3

(1)休憩前は、毎分何mの速さで進んだか求めなさい。
(2)休憩後にAさんが進んだ様子を表した直線の式を求めなさい。
(3)Bさんは、太郎さんが出発してから24分後に、Aさんとは、反対の向きに毎分40mの速さで進んだ。2人が出会うのはAさんが出発してから何分後か求めなさい。

●練習問題1の解答
(1)毎分50m
(2)y=80x-1600
(3)48分後

一次関数の利用の練習問題2

AさんとBさんが学校を出発して、学校から3000m離れた公園まで歩いて行った。最初にAさんが学校を出発し、一定の速さで公園に向かったが、買い物でコンビニ立ち寄り、そこで10分間過ごした。Aさんは、その後最初の速さで公園まで歩いた。Bさんは、Aさんの出発から20分後、一定の速さで歩き、2分30秒早く公園着いた。下の図は、AさんとBさんの歩く様子をグラフにしたものです。このとき、次の問いに答えなさい。
ダイヤグラム距離1

(1)Aさんの歩く速さを求めなさい。
(2)Aさんが学校を出発してからBさんに追いこされるまでの時間とAさん、Bさんがいる地点の間の距離を表したグラフを次から記号で1つ選べ。
ダイヤグラム距離2
(3)AさんがBさんに追い越されたのが、学校から何m離れた地点か求めよ。求めるまでの過程も記述せよ。

●練習問題2の解答
(1)分速60m
(2)ウ
(3)2400m(途中の過程略)

点の移動のポイント

➊グラフや表が用意されていない場合は、題意に沿って自分で用意(作成)して問題を解き始める。
➋面積が同じなどどあれば、交点がその答えとなる。
➌通常、わかっているx,yに相当する値を式に代入すれば、解答を導ける。

一次関数の利用の練習問題3

図のように、AB=6cm、BC=8cm、AC=10cm、∠B=90°の直角三角形ABCがある。いま、点Pは毎秒2cmの速さで、頂点Bから頂点Cを通って頂点Aまで三角形の辺上を動く。頂点Bから出発してからx秒後の△ABPの面積をScm2とするとき、次の各問いに答えよ。
点の移動
(1)点Pが辺BC上にあるとき、Sをxを用いて表せ。
(2)点Pが辺CA上にあるとき、Sをxを用いて表せ。
(3)S=12となるようなxの値を求めよ。

●解答3
点の移動解説

一次関数の利用の練習問題4

次の図1の四角形ABCDは、1辺8cmの正方形である。点Pは頂点Aを出発し、辺AB上を毎秒4cmの速さでA→B→A→B→Aと2往復する。点Qは頂点Cを出発し、辺CD上を毎秒1cmの速さでCからDまで進む。図2は、△PBCと△QBCの面積の関係を表すグラフである。点P、Qがそれぞれ頂点A、Cを同時に出発するとき、次の問いに答えよ。

点移動

(1)2点P、Qが出発してからの4秒間の、時間と△PBCと△QBCの面積の差の関係を表したグラフをアからウより1つ選べ。ただし、差は、大きい方の面積から小さいほうの面積をひいたものとする。

点移動2

(2)△PBCと△QBCの面積の差がはじめて8cm2になるのは、 2点P、Qが出発してから何秒か求めよ。

(3)△PBCと△QBCの面積が3回目に等しくなるのは、2点P、Qが出発してから何秒か求めよ。

●解答
(1)ウ
(2)6/5秒後
(3)24/5秒後

料金

携帯電話のA社の料金とB社の料金は以下のようになっています。

<A社>
・基本料金2500円
・通話50分までは無料
・50分から100分までは1分間につき30円ずつ加算する
・100分以上については100分の代金のまま定額

<B社>
・基本料金2500円
・無料通話はなく, 1分間につき10円ずつ加算する

通話料がx分の時の料金をy 円とすると, A社の通話時間と料金の関係は次のグラフのようになります。このとき, 次の各問いに答えなさい。
料金グラフ
(1) A社において, 通話時間が80分と100分のときの料金を求めなさい。
(2) A社において, 次の各場合のとき, y をx の式で表しなさい。
① 0≦x≦50 のとき
② 50≦x≦100 のとき
③ 100≦x のとき
(3) B社において, y をx の式で表しなさい。
(4) A社の方がB社よりも料金が高くなるのは通話時間がどのようなときか求めなさい

料金の解答・解説

(1)
80分のときは2500円に30分間の通話料金が加算されるから
2500+30×30=3400  よって3400円

100分のときも同様に50分間の通話料金が加算されるから
2500+50×30=4000  よって4000円

(2)
① 基本料金のままだからy=2500

② 1分間に30円ずつ加算されるから, 傾き30 よって
y=30x+bとおき、 これに、x=50 y=2500を代入して
2500=30×50+b b=1000 よってy=30x+1000

③ 100分以上は4000円で一定だからy=4000

(3) 傾き10, 切片2500のグラフになるから、y=10x+2500

(4)
A社とB社のグラフは<解説動画>のようになるから

点Pのx座標は、y=30x+1000とy=10x+2500の連立方程式代入法よりx=75すなわち75分
点Qのx座標は、y=10x+2500とy=4000の連立方程式代入法よりx=150すなわち150分

よって、75分より長く150分未満のとき

解答

(1)3400円、4000円
(2)①y=2500 ②y=30x+1000 ③y=4000
(3)y=10x+2500
(4)75分より長く150分未満のとき

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