中2数学「一次関数の基本問題とそのポイント」定期テスト対策問題

中2数学「一次関数の基本問題」定期テスト対策問題です。

一次関数の表に関する基本問題

【問1】地表から10kmの上空までは、地表から1km離れるごとに気温は6℃低くなる。地表からの距離をxkm、その地点での気温をy℃として次の問いに答えなさい。
(1)地表の気温が15℃のとき、下の表を完成させなさい。

(2)地表の気温が30℃とする。
①yをxの式で表しなさい。
②xの変域とyの変域を答えなさい。
③気温が0℃になるのは地表から何kmの地点か。

【問2】40ℓ入る水そうに水が10ℓ入っている。この水そうに毎分3ℓの割合で満水になるまで水を入れたとき、次の問いに答えなさい。
(1)下の表を完成させなさい。

(2)yをxの式で表しなさい。
(3)xの変域とyの変域を答えなさい。

一次関数の表の解答・解説

• ｙがｘの関数で、ｙがｘの一次式で表されるとき、ｙはｘの一次関数であるという。
• 一次関数は、一般的に、ｙ＝aｘ+ｂ（a,bは定数）の形で表される。
• ｘに比例する部分aと定数ｂの和の形になっている。

【問1】
(1)

(2)
①y＝30－6x（y＝－6x＋30でもよい）
②0≦x≦10（10kmまでと文章にある。地表は地面のことで0km）
－30≦y≦30（0kmで30℃10kmのとき－30℃）
③5km（①の式にy＝0を代入）

【問2】
(1)

(2)y＝10＋3x（y＝3x＋10でもよい）
(3) 0≦x≦10（実験開始は0分、満水になるのは10分後）
10≦y≦40（実験開始は10ℓ、実験終了は40ℓ）

一次関数の変化の割合の基本問題

【問1】1次関数y＝2x－3について、次の場合の変化の割合を求めなさい。
①xが1から3まで変化するとき
②xが1から5まで変化するとき
③xが－3から0まで変化するとき
④xが－4から1まで変化するとき

【問2】次の一次関数でxが－2から6まで増加するときの変化の割合を求めなさい。
①y＝2x＋2
②y＝－4x＋5
③y＝x＋2
④y＝6x＋2

【問3】次の一次関数でxの増加量が6のとき、yの増加量を求めなさい。
①y＝x＋3
②y＝－2x＋6
③y＝ x－2
④y＝－2x－5

一次関数の変化の割合の基本問題の解答

• 変化の割合＝ｙの増加量/ｘの増加量
• 1次関数の場合、変化の仕方が一定なので、傾き＝変化の割合となる。

【問1】①2　②2　③2　④2
【問2】①2　②-4　③4　④6
【問3】①6　②-12　③6　④-12

一次関数のグラフに関する基本問題

次の問いに答えなさい。
(1)傾き３で点(1,-4)を通る直線。
(2)傾き－1で点(5,-2)を通る直線。
(3)直線y=2x+5 に平行で、点(-1,2)を通る直線。
(4)切片が４で、点(1, 3)を通る直線。
(5)２点(1,5)と(3,-1)を通る直線。
(6)２点(0,2)と(2, 4)を通る直線
(7)点(-3,0)を通り、直線y=-2x+3とy軸上で交わる直線。

一次関数のグラフに関する基本問題の解答

• 一次関数…y=ax+bのグラフを、直線 y=ax+b という。
• 直線y=ax+bは、直線y= ax に平行で、 軸上の点(0, b)を通る直線である。
• 直線y=ax+b は、直線y=ax をx軸の正の方向にもだけ平行移動した直線である。
• 切片…直線y= ac+bとy軸との交点(0, b)のy座標bを,この直線の切片という。

(1)y＝3x-7
(2)y＝-x＋3
(3)y＝2x＋4
(4)y＝-x＋4
(5)y＝-3x＋8
(6)y＝x＋2
(7)y＝x＋3

一次関数の問題を解く上の重要ポイント

■ 一次関数の式について
(1) たとえば、y=3x+4のグラフは、比例の関係y = 3xのグラフを4だけ上方に平行移動した直線になる。 原点より4だけ上の点(0, 4)を通るから,切片は4
(2) たとえば、y=3x-2のグラフ y=3xのグラフを2だけ下方に平行移動した直線になる。 原点より2だけ下の点(0, -2)を通るから,切片は -2
(3)一次関数のグラフ 一次関数y=ax+b は、aの値によって、そのグラフの直線の傾きぐあいが決まるので、aの値を,直線y=ax-bの傾きという。
(4)一次関数y=ax+bのグラフは, 傾きa, 切片bの直線で、aの値によって変わる。

■ 一次関数のグラフの書き方

• 一次関数y=ax+bのグラフのかき方は、切片bをy軸との交点を決め、その点を通る傾きaの直線をかく。
• 傾きがa→右へ1進むと上へa進む。

■ 方程式とグラフ
方程式の解を座標とする点の全体を,その方程式のグラフという。

• 二元一次方程式 ax+by=cは,yについて解くと,xの一次式で表され, yはxの一次関数とみることができる。
• 二元一次方程式 ax+by=cの解を座標とする点の全体は、直線になり,これを方程式 ax+by=cのグラフという。また, ax+by=cを,この直線の式という。

■ y=k, x=hのグラフ

• y=kのグラフ…点(0,k)を通り,x軸に平行な直線になる。
• x=hのグラブ…点(h,0)を通り,y軸に平行な直線になる。

■ 一次関数の式を求めるパターン

パターン	内容	解法
1	傾きの値がわかっているとき	a=傾きなのでaに代入。
2	切片の値がわかっているとき	b=切片なのでbに代入。
3	変化の割合がわかっているとき	a=変化の割合なのでaに代入。
4	xの増加量やｙの増加量があれば、	a=変化の割合＝yの増加量/ｘの増加量を利用する
4	ある直線と平行な直線に式を求めるとき	平行＝傾きが同じなので、aは同じ
5	2点の座標がわかっているとき	それぞれをa,bに代入して連立方程式（代入法）
6	2組のｘとｙの値が与えられたとき	それぞれをa,bに代入して連立方程式（代入法）