円と相似の融合問題

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円と相似の融合問題です。円周角の定理や相似の出現パターンを考慮しながら、解いていきましょう。また、直角三角形など直角する場合などは、三平方の定理を利用するときがほとんどです。

今回使う公式の例
円周角の定理

円と相似の融合問題

【問1】図のように、円Oの2つの弦AB、CDが点Pで交わっている。AB=11cm、BC=12cm、AD=8cm、DP=4cm、∠ CDB =65°のとき、次の問いに答えなさい。
円と相似問題1

(1)△CPB∽△APDであることを証明せよ。
(2)∠ADPの大きさを求めよ。
(3)線分PBの長さを求めよ。
(4)線分PCの長さを求めよ。

【問2】図のように、円Oの円周上に点A,B,C,Dがる。点Eは、線分ADと線分BDの交点であり、点Fは、線分BAの延長と線分CDの延長が交わる点である。BC=12cm、AB=AC、∠ABD=∠CBDのとき、次の問いに答えよ。
円と相似問題2

(1)△ABE≡△ACFであることを証明せよ。
(2)∠ADFの大きさを求めよ。
(3)△ACFの面積を求めよ。

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円と相似の融合問題の解説・解答

【問1の解説】
(1)
△CPBと△APDにおいて、
弧BCの円周角より、∠PCB=∠PAD…①
弧ACの円周角より、∠CPB=∠APD…②

①②より
2組の角がそれぞれ等しいので、
△CPB∽△APD

(2)直径の円周角は90°を利用する。直径があって、90°が見当たらないときは、補助線を入れて90°を作ります。その後、共通する円周角は等しいなどから、図のように65°を記入。
円と相似解説1
あとは、三角形の内角の和は180°から、180-90-65=25°となる。

(3)相似を見つける。
円と相似解説2

△CPB∽△APDより

PD:PB=AD:CB
4:x=8:12
x=6

PB=6cm

(4)相似をさらに探し求めていく。
円と相似解説3
(3)よりPB=6cmなので、PA=AB-PB=11-6=5cm

△CPB∽△APDより

PA:PC=AD:CB
5:y=8:12
y=15/2

PA=15/2cm

【問2の解説】
(1)△ABEと△ACFにおいて

仮定より AB=AC…①
直径BCの円周角より、∠BAE=∠CAF=90°…②
弧ADの円周角より、∠ABE=∠ACF…③

①②③より
1辺とその両端の角がそれぞれ等しいので
△ABE≡△ACF

(2)内接する四角形の定理を利用する。
円と相似解説4
よって、45°

(3)わかっている長さを書き込んでいく。
円と相似解説5
ACの長さは、△ABCが直角二等辺三角形より、特別な直角三角形を使い、6√2
FAの長さは、BF-ABとなる。AB=ACなので、BF-AC(6√2cm)を求めることなる。BFは、BC(12cm)の長さと等しい。(※△BDF≡△BDCより)よって、FAは12-6√2

よって、求める△ACF=6√2(12-6√2)÷2=36√2-36

確認特別な直角三角形

【解答】
問1
(1)解説参照
(2)25°
(3)6cm
(4)15/2cm

問2
(1)解説参照
(2)45°
(3)36√2-36

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