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円錐に関する練習問題(高校入試レベル)

円錐に関する練習問題です。入試でも頻出の立体です。多くの公式があり、出題パターンも多く存在することから問題も作成しやすいと同時に、受験生の学力を測るうえでも、良問となりうるからです。

●今回使う公式
おうぎ形に関する公式(中学数学)

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円錐に関する練習問題

円錐問題図1
次の図のように底面の半径が2cm、母線の長さが8cmの円錐について、次の問いに答えなさい。

(1)円錐の体積を求めよ。

(2)側面の展開図のおうぎ形の中心角を求めなさい。

(3)側面の展開図のおうぎ形の面積を求めよ。

(4)円錐の側面上をまわるように、点Aから点Aまでひもをかける。ひもの長さが最小となるときの長さを求めよ。

円錐に関する練習問題の解説・解答

(1)高さがわからないので、まず高さを求める。頂点から垂線を下ろして三平方の定理を利用する。

高さをhとすると
h2=82-22=64-4=60
h=2√15

求める体積は 1/3×2×2×π×2√15
=8/3√15π(3分の8ルート15)

(2)円錐を展開してできるおうぎ形の中心角なので、中心角をxとして、「母線×中心角=半径×360」を利用すると
8×x=2×360より、x=90°となる。

(3)側面んの展開図のおうぎ形=円錐の側面積なので、「母線×半径×π」を利用して
8×2×π=16πcm2となる。

(4)
円錐の最短距離問題解説
展開したあとで、AからAまで直線に結んだ長さが最小となり、求める線分となります。
中心角が90°のことから△OAA’は、直角二等辺三角形。1:1:√2より、求める長さは、8√2となる。

確認特別な直角三角形を使った練習問題

<解答>
(1)2√15cm
(2)90°
(3)16πcm2
(4)8√2cm

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