高校入試対策数学「特別な直角三角形を使った問題」

特別な直角三角形を使った練習問題です。

➊特別な直角三角形については、「1：2：√3」と「1：1：√2」が有名ですが、その他「1：2：√5」「3：4：5」「5：12：13」も合わせて覚えておくと便利です。
➋「120°」「75°」「135°」が出てきても垂線を下ろすことで、45°、60°が出現し、特別な直角三角形を利用できることが多々あります。

●今回利用する公式

特別な直角三角形練習問題
1. 特別な直角三角形練習問題解説・解答

特別な直角三角形練習問題

【問1】次の図で、BC＝10ｃｍ、DC＝6ｃｍ、∠ABC＝60°のとき、次の問いに答えなさい。

（1）ADの長さを求めなさい。

（2）四角形ABCDの面積を求めなさい。

【問2】次の△ABCで、AC＝6ｃｍ、∠BAC＝75°、∠ACB＝60°のとき、次の問いに答えなさい。

（1）ABの長さを求めよ。

（2）BCの長さを求めよ。

（3）△ABCの面積を求めよ。

【問3】次の△ABCで、BC＝8ｃｍ、AB＝7ｃｍ、∠ACB＝120°のとき、次の問いに答えなさい。

（1）ACの長さを求めよ。

（2）△ABCの面積を求めよ。

特別な直角三角形練習問題解説・解答

【問1】

（1）特別な直角三角形の公式にあてはまることで、ACの長さ＝5√3となる。このことにより、求めるADの長さは、直角三角形ACDに着目し、三平方の定理より√39ｃｍとなる。

（2）四角形ABCD＝△ABC+△ACDなので、それぞれ求める。
△ABC＝5×5√3÷2＝25√3/2
△ACD＝6×√39÷2＝3√39
よって、25√3/2+3√39ｃｍ²となる。

【問2】

(1)(2)(3)図示したように、点Aから線分BCに垂線を下ろしその交点をHとすると、特別な直角三角形が2つできる。特別な直角三角形の公式を利用することで、（1）ABの長さ、(2)BCの長さ、(3)△ABCの面積は求める。

【問3】

(1)(2)図示したように、点Cから垂線を下ろし、線分ABを延長した線分との交点をHとすると、特別な直角三角形が2つできる。特別な直角三角形の公式や三平方の定理を利用することで、（1）ACの長さ（△ACHの直角三角形に注目、線分CHは、特別な直角三角形の公式より求める。）（2）△ABCの面積を求めることができる。