整数の規則性の練習問題

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整数の規則性の練習問題です。大きく2つ規則性があります。➊規則的に、2,4,6,8と増えていくときは、1次関数➋規則的に、1,4,9,16と増え方が増えていくときは、2次関数と踏まえておきましょう。

今回使う公式
規則性パターン(中学数学)

整数の規則性の問題

【問1】下の図のように、〇印を1段目、2段目、3段目…ある規則にしたがって、と記入していきます。このとき、次の問いに答えなさい。
規則性問題1

(1)7段目の〇の数を求めよ。
(2)n段目の〇の数をnを用いて表せ。
(3)〇の数が、79個になるときは、何段目か求めよ。

【問2】下の図のように、白の玉と黒の玉が、規則的に1番目、2番目、3番目と…並んでいくとき、次の問いに答えなさい。

規則性問題2

(1)黒の玉が81個になるときは何番目か。
(2)n番目の白玉の数をnを用いて表せ。
(3)白い玉と黒い玉の多いほうから少ないほうをひいた個数の差が81個になるのは、何番目か答えよ。

整数の規則性の問題の解説・解答

【解説】
問1 まず表を書いて、規則性の関係を式で表すと解きやすい。
規則性解説1
この表を式で表すと、増え方が一定(変化の割合が一定)なので、1次関数となるので、y=ax+bとおき、連立方程式なり、傾き2を代入して解くなりする。するとy=2x+1と表せる。

(1)y=2x+1にx=7(段目)を代入すると、y(個数)=15
(2)y=2x+1にx=n(段目)を代入すると、y(個数)=2n+1
(3)2x+1=79をとくと、x(段目)=39

問2
(1)黒玉の番目と個数の関係は、y=x2と表せるので、x2=81となり、x=9
(2)2n-1

(3)2番目以降、常に黒玉の個数が多いので、黒の個数ー白の個数=81が成り立つ。
81個になるのが、n番目とすると、黒の個数は、n2 白の個数は、2n-1と表せるので
n2-(2n-1)=81
これを解くと
n=-8,10
ここで、n>0なので、
8は問題に合わない。

よって、10番目が答えとなる。

【解答】
問1(1)15 (2)2n+1 (3)39
問2(1)9 (2)2n-1 (3)10

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