中学1年生の数学で出てくる「円とおうぎ形」は、公式をしっかり理解しておくことが大切です。円の面積やおうぎ形の面積、弧の長さなど、しっかり覚えていれば、テストで高得点を狙えます！この記事では、円とおうぎ形に関する重要な計算方法や公式を解説し、定期テストによく出る予想問題も紹介します。これらのポイントを押さえて、テスト前に自信を持って臨めるようにしましょう！
円のポイント
円周上に2点A,Bをとるとき、円周のAからBまでの部分を、弧ABといいます。弧ABの両端の点を結んだ線分を弦ABといいます。また∠AOBを弧ABに対する中心角といいます。
- 円と直線…円と直線が1点だけを共有するとき、直線は円に接するといいます。直掩が円に接しているとき、直線を円の接線、点を接点といいます。
- 接線・接点…円と直線が1点で交わるとき、直線は、円に接するといいます。この線を接線といい、交わった点を接点といいます。円の接線の性質として、その接点を通る半径に垂直であるということです。
- 円と対称…円は、線対称な図形で、対称の軸は直径です。また円は点対称な図形でもあり、対称の中心は円の中心です。
円の周の長さと面積の求め方
半径rの円の周の長さをl、面積をSとすると、
- l=2πr （円周の長さ＝2×π×半径）
- S=πr2 （円の面積＝π×半径×半径）
円周率πの文字式での書き順は、数字、π、文字の順に書きます。
●例題1
半径6ｃｍの円の周りの長さと面積を求めよ。
- 円の周りの長さ 2×π×6＝12πｃｍ
- 円の面積 π×6×6＝36πｃｍ2
となります。
おうぎ形のポイント
円の2つの半径と弧で囲まれた図形を、おうぎ形といいます。またおうぎ形の2つの半径がつくる角を中心角といいます。半径と中心角の等しいおうぎ形の弧の長さや面積は等しいです。
おうぎ形の弧の長さと面積の求め方
半径r、中心角aのおうぎ形の弧の長さをl、面積をSとすると、
- l=2πr×（a/360） （おうぎ形の弧の長さ＝円周×（中心角/360））
- S=πr2×（a/360） （おうぎ形の面積＝円の面積×（中心角/360））
●例題2
半径5ｃｍ、中心角144°のおうぎ形の弧の長さと面積を求めなさい。
- おうぎ形の弧の長さ 2π×5×144/360＝4πｃｍ
- おうぎ形の面積 π×5×5×144/360＝10πｃｍ2
おうぎ形の中心角の求め方
➊中心角＝（おうぎ形の面積/円の面積）×360
➋中心角＝（おうぎ形の弧の長さ/円周）×360
●例題3
（1）半径が6ｃｍで、この長さが3πｃｍでであるおうぎ形の中心角の大きさを求めよ。
（解答）90度 （解説）（3π/12π）×360 12π＝円周で、6π×2
【対策問題】円とおうぎ形の問題
次の問いに答えなさい。
（1）半径8ｃｍの円の周りの長さを求めよ。
（2）半径8ｃｍの円の面積を求めよ。
（3）半径3ｃｍ、中心角120°のおうぎ形の弧の長さを求めなさい。
（4）半径3ｃｍ、中心角120°のおうぎ形の面積を求めなさい。
（5）半径12ｃｍ、弧の長さ3πのおうぎ形の面積を求めよ。
（6）半径が3ｃｍで、この長さが2πｃｍでであるおうぎ形の中心角の大きさを求めよ。
（7）半径が3ｃｍで、弧の長さが4/5π（5分の4π）ｃｍであるおうぎ形の中心角の大きさを求めよ。
【解答】円とおうぎ形の問題
（1）16πｃｍ
（2）64πｃｍ2
（3）2πｃｍ
（4）3πｃｍ2
（5）18πｃｍ2
（6）120度
（7）48度
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