中3数学「数に関する性質の証明のポイントと演習問題」

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中3数学「数の証明」整数の利用を活用する!について記述しています。

  • レベル:標準
  • 頻出度:定期テスト
  • ポイント:証明の流れをつかむ

数の証明

主題パターンは、主に2つ。

  • 倍数になることや割り切れることなど、「~に(なる)こと」
  • 「~に等しくなること」

の2つ。

なることの証明問題

【問題】奇数の平方から1をひいた数は4の倍数であることを説明しなさい。

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解答

nを整数として、奇数は2n-1と表せる。

奇数の平方から1を引いた数は
(2n-1)2-1
=4n2-4n+1-1
=4n2-4n
=4(n2-n)
ここで、(n2-n)整数なので、4×(整数)となり
奇数の平方から1をひいた数は4の倍数である。

等しくなることの証明問題

【問題】連続する3つの整数がある。最大の整数と最小の整数の積は中央の整数の平方よりも1小さい数と等しくなることを説明しなさい。

解答

nを整数として、連続する3つの整数はn-1、n、n+1と表せる。

最大の整数と最小の整数の積は(n+1)(n-1)=n2-1…①
中央の整数の平方よりも1小さい数はn2-1…②

だから、最大の整数と最小の整数の積は中央の整数の平方よりも1小さい

新傾向の問題

【問題】下記の<規則>に従ったx+y+zの値が奇数を2乗した数になることを証明せよ。ただし、「ある自然数をnとすると」から書き出しなさい。

<規則>
➊ある自然数nを2乗した数をx
➋ある自然数nより1だけ大きい自然数を2乗した数をy
➌nとn+1の積を2倍した数をzとする

解答

ある自然数をnとすると、x=n2、y=(n+1)2、z=2n(n+1)と表せる。

x+y+z
=n2+(n+1)2+2n(n+1)
=4n2+4n+1
=(2n+1)2

ここでnは自然数なので、2n+1は奇数となる。
よって、x+y+zの値は奇数を2乗した数になる。

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