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中3数学「式による証明の定期テスト予想問題」

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中3数学「式による証明」について記述しています。

  • レベル:標準
  • 頻出度:定期テスト
  • ポイント:証明の流れをつかむ
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数の証明のパターン

主な出題パターンは、主に3つ。

  • 倍数になることや割り切れることなど、「~に(なる)こと」
  • 「~に等しくなること」
  • 図形に関すること
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式による証明問題

【問1(なることの証明問題)】
奇数の平方から1をひいた数は4の倍数であることを説明しなさい。

【問2(等しくなることの証明問題)】
連続する3つの整数がある。最大の整数と最小の整数の積は中央の整数の平方よりも1小さい数と等しくなることを説明しなさい。

【問3(新傾向の問題)】
下記の<規則>に従ったx+y+zの値が奇数を2乗した数になることを証明せよ。ただし、「ある自然数をnとすると」から書き出しなさい。

<規則>
➊ある自然数nを2乗した数をx
➋ある自然数nより1だけ大きい自然数を2乗した数をy
➌nとn+1の積を2倍した数をzとする

【問4(図形の証明1)】
半径がa mの円形の土地の周囲に幅b mの道を下図のように作った。道の真ん中を通る線の1周をℓmとし、道の面積をScm2とするこのとき、S=bℓとなることを説明しなさい。
円の証明

【問5(図形の証明2)】
下図のように、半径がrcmの球が、円柱の底面と側面に接して入っている。
円柱

(1)円柱から球を取り除いた後の残った部分の体積を求めなさい。
(2)円柱の表面積と球の表面積の比が3:2となることを、証明しなさい。

式による証明問題の解答

【問1】
nを整数として、奇数は2n-1と表せる。

奇数の平方から1を引いた数は
(2n-1)2-1
=4n2-4n+1-1
=4n2-4n
=4(n2-n)
ここで、(n2-n)整数なので、4×(整数)となり
奇数の平方から1をひいた数は4の倍数である。

【問2】
nを整数として、連続する3つの整数はn-1、n、n+1と表せる。

最大の整数と最小の整数の積は(n+1)(n-1)=n2-1…①
中央の整数の平方よりも1小さい数はn2-1…②

だから、最大の整数と最小の整数の積は中央の整数の平方よりも1小さい

【問3】
ある自然数をnとすると、x=n2、y=(n+1)2、z=2n(n+1)と表せる。

x+y+z
=n2+(n+1)2+2n(n+1)
=4n2+4n+1
=(2n+1)2

ここでnは自然数なので、2n+1は奇数となる。
よって、x+y+zの値は奇数を2乗した数になる。

【問4】
S =π(a+b)2-πa2
=πa2+2πab+πb2-πa2
=2πab+πb2 …①
bℓ =b×ℓ
=b×(2a+b)×π
=πb(2a+b)
=2πab+πb2 …②
だから ①②より S=bℓになる。

【問5】
数の証明解答

中3数学
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