中3数学「数の証明」整数の利用を活用する!について記述しています。
- レベル:標準
- 頻出度:定期テスト
- ポイント:証明の流れをつかむ
数の証明のパターン
主な出題パターンは、主に2つ。
- 倍数になることや割り切れることなど、「~に(なる)こと」
- 「~に等しくなること」
の2つ。
なることの証明問題
【問題】奇数の平方から1をひいた数は4の倍数であることを説明しなさい。
なることの証明問題解答
nを整数として、奇数は2n-1と表せる。
奇数の平方から1を引いた数は
(2n-1)2-1
=4n2-4n+1-1
=4n2-4n
=4(n2-n)
ここで、(n2-n)整数なので、4×(整数)となり
奇数の平方から1をひいた数は4の倍数である。
等しくなることの証明問題
【問題】連続する3つの整数がある。最大の整数と最小の整数の積は中央の整数の平方よりも1小さい数と等しくなることを説明しなさい。
等しくなることの証明問題解答
nを整数として、連続する3つの整数はn-1、n、n+1と表せる。
最大の整数と最小の整数の積は(n+1)(n-1)=n2-1…①
中央の整数の平方よりも1小さい数はn2-1…②
だから、最大の整数と最小の整数の積は中央の整数の平方よりも1小さい
式による証明の新傾向の問題
【問題】下記の<規則>に従ったx+y+zの値が奇数を2乗した数になることを証明せよ。ただし、「ある自然数をnとすると」から書き出しなさい。
<規則>
➊ある自然数nを2乗した数をx
➋ある自然数nより1だけ大きい自然数を2乗した数をy
➌nとn+1の積を2倍した数をzとする
➊ある自然数nを2乗した数をx
➋ある自然数nより1だけ大きい自然数を2乗した数をy
➌nとn+1の積を2倍した数をzとする
式による証明の新傾向の問題解答
ある自然数をnとすると、x=n2、y=(n+1)2、z=2n(n+1)と表せる。
x+y+z
=n2+(n+1)2+2n(n+1)
=4n2+4n+1
=(2n+1)2
ここでnは自然数なので、2n+1は奇数となる。
よって、x+y+zの値は奇数を2乗した数になる。
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