中３数学「数に関する性質の証明のポイントと演習問題」

中３数学「数の証明」整数の利用を活用する！について記述しています。

• レベル：標準
• 頻出度：定期テスト
• ポイント：証明の流れをつかむ

数の証明

主題パターンは、主に2つ。

• 倍数になることや割り切れることなど、「～に（なる）こと」
• 「～に等しくなること」

の2つ。

なることの証明問題

【問題】奇数の平方から１をひいた数は4の倍数であることを説明しなさい。

解答

nを整数として、奇数は2n－1と表せる。

奇数の平方から1を引いた数は
(2n－1)²－1
＝4n²－4n＋1－1
＝4n²－4n
＝4(n²－n)
ここで、(n²－n)整数なので、4×（整数）となり
奇数の平方から１をひいた数は4の倍数である。

等しくなることの証明問題

【問題】連続する３つの整数がある。最大の整数と最小の整数の積は中央の整数の平方よりも１小さい数と等しくなることを説明しなさい。

解答

nを整数として、連続する３つの整数はn－1、n、n＋1と表せる。

最大の整数と最小の整数の積は(n＋1)(n－1)＝n²－1…①
中央の整数の平方よりも１小さい数はn²－1…②

だから、最大の整数と最小の整数の積は中央の整数の平方よりも１小さい

新傾向の問題

【問題】下記の＜規則＞に従ったx+y+zの値が奇数を2乗した数になることを証明せよ。ただし、「ある自然数をｎとすると」から書き出しなさい。

解答

ある自然数をｎとすると、x=n²、y=(n+1)²、z=2n(n+1)と表せる。

x+y+z
=n²+(n+1)²+2n(n+1)
=4n²+4n+1
=(2n+1)²

ここでnは自然数なので、2n+1は奇数となる。
よって、x+y+zの値は奇数を2乗した数になる。