中学数学「角の二等分線定理の高校入試対策問題」

角の二等分線定理を使った練習問題です。高校入試でも頻出の定理となります。

ここで差がつく！➊特に入試や実力テストでは「角を二等分する」、「二等分された角」などとあれば、角の二等分線定理を利用することが圧倒的に多い。
➋角の二等分線定理で単独で出題されることは少なく、合わせて相似や三平方の定理を途中組み合わせたり、使用させたりして解答させる。

角の二等分線定理の高校入試対策問題

図のように。AB＝6ｃｍ、BC＝8ｃｍの長方形ABCDがあり、∠Bの二等分線とCDの延長との交点をEとする。
また、BEとAC,ADとの交点をそれぞれP,Qとする。このとき、次の問いに答えなさい。

（1）EDの長さをそれぞれ求めよ。
（2）CPの長さをそれぞれ求めよ。
（3）四角形PQDCと三角形APBの面積比を求めよ。

（1）EDの長さ

上の図の「相似の出現パターンの砂時計型」より、△AQB∽△DQEより、AB：DE＝AQ：QDが成り立つので、DE＝ｘとすると、6：ｘ＝6：2より、ｘ＝2ｃｍとなる。

ちなみにAQが6である理由は、錯角が等しいので、∠PBC＝∠AQB。また、∠PBC＝∠ABQは仮定より等しいので、△ABQは二等辺三角形よりAB＝AQ＝6

（2）CPの長さ

ACは、三平方の定理より、10ｃｍ。また、角の二等分線定理より、AP：AC＝3：4よって、求めるCP=10×（4/7）となり、40/7ｃｍ

（3）四角形PQDCと三角形APBの面積比

相似比の2乗は面積比を利用すると、四角形PQDC：三角形APB＝19：12となる。

（1）EDの長さ　2ｃｍ
（2）CPの長さ　40/7ｃｍ
（3）四角形PQDCと三角形APBの面積比　7：4