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中学数学「角の二等分線定理を使った練習問題」

角の二等分線定理を使った練習問題です。高校入試でも頻出の定理となります。

ここで差がつく!➊特に入試や実力テストでは「角を二等分する」、「二等分された角」などとあれば、角の二等分線定理を利用することが圧倒的に多い
➋角の二等分線定理で単独で出題されることは少なく、合わせて相似や三平方の定理を途中組み合わせたり、使用させたりして解答させる。
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角の二等分線定理を使った練習問題

角の二等分線定理問題
図のように。AB=6cm、BC=8cmの長方形ABCDがあり、∠Bの二等分線とCDの延長との交点をEとする。
また、BEとAC,ADとの交点をそれぞれP,Qとする。このとき、次の問いに答えなさい。

(1)EDの長さをそれぞれ求めよ。
(2)CPの長さをそれぞれ求めよ。
(3)四角形PQDCと三角形APBの面積比を求めよ。

角の二等分線定理を使った練習問題解説

(1)EDの長さ
相似の出現
上の図の「相似の出現パターンの砂時計型」より、△AQB∽△DQEより、AB:DE=AQ:QDが成り立つので、DE=xとすると、6:x=6:2より、x=2cmとなる。

ちなみにAQが6である理由は、錯角が等しいので、∠PBC=∠AQB。また、∠PBC=∠ABQは仮定より等しいので、△ABQは二等辺三角形よりAB=AQ=6

(2)CPの長さ
角の二等分線定理
ACは、三平方の定理より、10cm。また、角の二等分線定理より、AP:AC=3:4よって、求めるCP=10×(4/7)となり、40/7cm

(3)四角形PQDCと三角形APBの面積比
面積比
相似比の2乗は面積比を利用すると、四角形PQDC:三角形APB=19:12となる。

詳しく学ぶ面積比の練習問題

角の二等分線定理を使った練習問題解答

(1)EDの長さ 2cm
(2)CPの長さ 40/7cm
(3)四角形PQDCと三角形APBの面積比 7:4

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