【中3数学】平方根の意味から計算・利用まで!

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平方根

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平方根の意味

  1. 平方根とは、「2乗するとaになる数」、つまりx2=aを成り立たせるxの値をの平方根という。例えば、16の平方根は、±4である。
  2. 中学数学において、2乗して負になる数はない。よって負の数の平方根は考えなくてよい。例えば、-16の平方根は、存在しない。2乗すると必ず正になってしまうから。
  3. 0の平方根は0
  4. 平方根が整数で表せないときは、√(根号といいルートと発音)をつかう。たとえば、3の平方根は、±√3である。このことから、√には性質があり、√の中が同じものを2つかけると、√の中の整数となることもわかる。

平方根の変形

正の数a,bにおいて、a√b=√a2b、√a2b=a√bと素因数分解をして、√の中を簡単な数にすることができます。

●出題のされ方

  1. √aの形にする
  2. 変形をして、√の中をできるだけ簡単な数にする

分母の有理化

分母に√を含まない形に変形することを、分母を有理化するといいます。

●ポイント

  1. まずは、√の中が簡単にできるときは、簡単にする。
  2. 次に、分母と同じ√を分母にも分子にもかけて整数にする。

平方根の計算

文字式と同じ要領で計算をしていきます。

●平方根の計算の手順

  1. √を簡単にできるときは、簡単にする。
  2. 有理化ができるときはする。

このことを計算前後に確認しましょう。乗除の計算の場合は、その限りではなく、特に、計算する前は、有理化するのではく直接約分できるときは約分していきます。また、√の中は簡単にするのではく、素因数分解をしたままですると簡単な場合も多い。

平方根の練習問題

【問1】次の問いに答えなさい。

  1. 9の平方根を答えよ。
  2. 25の平方根を答えよ。
  3. 0の平方根を答えよ。
  4. 5の平方根を答えよ。
  5. 16の平方根のうち正の整数を答えよ。

【問2】次の問いに答えなさい。
平方根標準

【問3】次の数を変形して、√の中をできるだけ簡単な数にしなさい。
平方根

【問4】分母に√を含まない形にしなさい。
有理化

【問5】次の計算をしなさい。
平方根の乗除

【問6】次の計算をしなさい。
平方根の加減

【問7】次の計算をしなさい。
平方根の総合

【問8】次の図は、1辺が6cmの正方形ABCDで、点E、F、G、Hは、それぞれ正方形各辺の中点であり、四角形EFGHは、正方形である。次の問いに答えよ。
正方形
(1)正方形EFGHの面積を求めよ。
(2)正方形EFGHの1辺の長さを求めよ。

解答

【問1】

  1. ±3
  2. ±5
  3. 0
  4. ±√5
  5. 4

【問2】省略

【問3】
平方根解答

【問4】
有理化解答

【問5】
平方根の乗除の計算解答

【問6】
平方根の加減解答

【問7】
平方根の総合問題

【問8】
(1)18cm2
(2)3√2cm

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