中3数学「平方根の意味・計算のポイントと練習問題」

平方根

平方根の意味

1. 平方根とは、「2乗するとaになる数」、つまりx2=aを成り立たせるxの値をの平方根という。例えば、16の平方根は、±4である。
2. 中学数学において、2乗して負になる数はない。よって負の数の平方根は考えなくてよい。例えば、-16の平方根は、存在しない。2乗すると必ず正になってしまうから。
3. 0の平方根は0
4. 平方根が整数で表せないときは、√（根号といいルートと発音）をつかう。たとえば、3の平方根は、±√3である。このことから、√には性質があり、√の中が同じものを2つかけると、√の中の整数となることもわかる。

平方根の変形

正の数a,bにおいて、a√b=√a2b、√a2b=a√bと素因数分解をして、√の中を簡単な数にすることができます。

●出題のされ方

1. √aの形にする
2. 変形をして、√の中をできるだけ簡単な数にする

分母の有理化

分母に√を含まない形に変形することを、分母を有理化するといいます。

●ポイント

1. まずは、√の中が簡単にできるときは、簡単にする。
2. 次に、分母と同じ√を分母にも分子にもかけて整数にする。

平方根の計算

文字式と同じ要領で計算をしていきます。

●平方根の計算の手順

1. √を簡単にできるときは、簡単にする。
2. 有理化ができるときはする。

このことを計算前後に確認しましょう。乗除の計算の場合は、その限りではなく、特に、計算する前は、有理化するのではく直接約分できるときは約分していきます。また、√の中は簡単にするのではく、素因数分解をしたままですると簡単な場合も多い。

平方根の練習問題

【問1】次の問いに答えなさい。

1. 9の平方根を答えよ。
2. 25の平方根を答えよ。
3. 0の平方根を答えよ。
4. 5の平方根を答えよ。
5. 16の平方根のうち正の整数を答えよ。

【問2】次の問いに答えなさい。

【問3】次の数を変形して、√の中をできるだけ簡単な数にしなさい。

【問4】分母に√を含まない形にしなさい。

【問5】次の計算をしなさい。

【問6】次の計算をしなさい。

【問7】次の計算をしなさい。

【問8】次の図は、1辺が6ｃｍの正方形ABCDで、点E、F、G、Hは、それぞれ正方形各辺の中点であり、四角形EFGHは、正方形である。次の問いに答えよ。

（1）正方形EFGHの面積を求めよ。
（2）正方形EFGHの1辺の長さを求めよ。

解答

【問1】

1. ±3
2. ±5
3. 0
4. ±√5
5. 4

【問2】省略

【問3】

【問4】

【問5】

【問6】

【問7】

【問8】
（1）18ｃｍ²
（2）3√2ｃｍ