中2数学「直角三角形の証明のポイント・練習問題」

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中2数学「直角三角形」合同条件から証明までをまとめています。直角三角形は、問題の文章中や示されている図中に90°や垂線の印があれば、直角三角形の性質や条件を使う可能性が高まります。少なくと頭の片隅に、直角三角形について置いておかなければなりません。それでは、中2数学「直角三角形」合同条件から証明までです。

直角三角形とは?

三角形のうち、90°(直角)がある三角形を直角三角形という。

直角三角形の斜辺
直角三角形で直角に対する辺を斜辺という。
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直角三角形の合同条件

直角三角形の合同条件①…斜辺と1つの鋭角がそれぞれ等しい。
直角三角形の合同条件②…斜辺と他の1辺がそれぞれ等しい。

直角三角形の練習問題1

次の図で、AB=ACの二等辺三角形ABCで、頂点Bから辺ACに垂線をひき、その交点をD、また、頂点Cから辺ABに垂線をひき、その交点をEとします。このときAD=AEになることを証明せよ。
直角三角形

直角三角形解答の解答1

△ABDと△ACEにおいて
仮定より AB=AC…①
∠ADB=∠AEC=90°…②
共通な角より ∠BAD=∠CAE…③
①②③より 直角三角形の斜辺と1つの鋭角がそれぞれ等しいので、
△ABD≡△ACE

直角三角形の練習問題2

図でPOは∠AOB の二等分線である。∠OAP=∠OBP=90°のときAP=BPとなることを証明しなさい。
直角三角形証明

直角三角形解答の解答2

△AOPと△BOPにおいて
OP=OP(共通)
∠AOP=∠BOP(PO は∠AOB の二等分線)
∠OAP=∠OBP=90°(仮定)
よって直角三角形の斜辺と 1 つの鋭角がそれぞれ等しいので△AOP≡△BOP
合同な三角形の対応する辺は等しいので AP=BP となる

直角三角形の練習問題3

次の四角形ABCDは、正方形である。辺BC上に点F、辺CD上の延長に点QをAP=AQとなるようにとるとき、△ABPと△ADQが合同であることを証明せよ。
直角三角形

直角三角形解答の解答3

△ABPと△ADQにおいて
仮定より、AP=AQ…①
四角形ABCDは正方形より、AB=AD…②
また、∠ABP=∠ADC=90°…③
ここで、∠ADQ=180°-∠ADC=90°…④
③④より、∠ABP=∠ADQ=90°…⑤
①②⑤より、直角三角形の斜辺と他の1辺がそれぞれ等しいので、
△ABP≡△ADQ

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